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By Lisa Zyga, May 8th, 2009
(PhysOrg.com) -- 數百年來質數（prime numbers，素數）使好奇的思想家著迷。在一方面，質數在自然數（natural numbers）間似乎隨機分布，除了偶然之外沒有其他法則。但在另一方面，質數的整體分布卻展露出一種引人注目的平滑規律性。這種隨意與規律性的結合促使研究者搜尋分布當中的模式（patterns），那最終也許能闡明它們的終極本質。
在最近一項研究中，西班牙 Universidad Politecnica de Madrid 的 Bartolo Luque 與 Lucas Lacasa 在質數中發現一種新模式，到目前為止，那令人驚訝地未被察覺。他們發現質數序列的領導位數（leading digit，譯註：例如 5671 當中的 5）能用一般化的 Benford's law（班佛定律）來描述。此外，同樣的模式也出現在其他數序中，包括 nontrivial Riemann zeta zeros，那已知與質數的分布相關。除了對於質數的本質提供洞見外，這項發現在詐騙偵測與股市分析這樣的領域中，也可能有其應用。
"數學家研究質數已有數百年了，" Lacasa 表示。"來自非線性科學（例如乘數過程 (multiplicative processes)）的新洞見及概念幫助我們以不同觀點看待質數。根據這項焦點，「即使不是數論專家，都仍有可能在這種序列中發現那些未被察覺的統計規律性的暗示」這件事變得益加顯著。"
"然而，在該研究中最重要的問題並非揭露質數與 Riemann zeros 中的這種模式，而是理解原因，以及這種非預期結構的蘊含，那不只是為了數字的理論性問題，也為了趣味性，對其他學科而言亦然。例如，這些結果端賴我們對於眾多元素所組成之系統中之相關性的理解。"
Benford's law（BL），在 1938 年以物理學家 Frank Benford 為名，描述在各種資料組與數學序列中，數字之領導位數的分布。有點令人意外地，領導位數並非隨機或均勻地（uniformly）分布，它們是對數的（logarithmic）分布。亦即，第一位數為 1 者，出現時間約佔 30%，而後續數字（digits）出現的頻率則愈來愈低，而 9 常敬陪末座。Benford's law 經證明能描述不同的資料組，從物理常數到世界河流的長度。
自 1970 年代末期起，研究者已知質數本身，當考量非常大的資料組時，並不會根據 Benford's law 來分布。相反的，質數的第一位數分布似近乎均勻。然而，一如 Luque 與 Lacasa 所指出的，較小的質數資料組（以較小間距選出來的集合），在第一位數分布中展現出一種明顯的偏差。研究者們注意到另一種模式：當他們所分析的質數資料組愈大，第一位數分布會益加接近均勻。據此，科學家納悶，這裡是否存有任何模式，在質數間距增至無限大時，構成這種朝向均勻趨勢的基礎。
所有質數的集合 -- 如同所有整數的集合 -- 為無限大。從統計學的觀點來看，這類分析的困難性之一是：如何在一無限大的資料組中以「隨機」方式進行選擇。正因如此，必須選擇一種有限的間距，即便那在某種程度上滿足機率法則，亦不可能達到完全地隨機。為了克服這一點，研究者們決定要選擇模型（shape）[1, 10^d] 的幾種間距；例如：1-100,000，d = 5 等等。在這些集合中，所有第一位數很可能為先驗相等。所以，若某種模式在一質數集合中的第一位數浮現，那將揭露關於質數第一位數的某種分布（只有在該集合中）。
Luque 與 Lacasa 在 d 增加時藉由觀察乘數集合，因而能研究當資料組增加時，質數的第一位數分布如何改變。他們發現質數遵循一種大小相依的（size-dependent）Generalized Benford's law（GBL，廣義班佛定律）。GBL 描述由乘冪律分布（power law distributions，例如 [1, 10^d]）所產生之級數的第一位數分布。當 d 增加，質數的第一位數分布變得更加均勻，遵循 GBL 所述趨勢。一如 Lacasa 的解釋，BL 與 GBL 適用於自然中的許多過程。
"想像一下你銀行帳戶中有 $1,000，月利率為 1%，" Lacasa 說。"第一個月，你的錢將變成 $1,000*1.01 = $1,010。下個月則是 $1,010*1.01，等等。在 n 個月後，你將有 $1,000*(1.01)^n。注意，你將需要很多個月才能從 $1,000 變成 $2,000，然而你從 $8,000 到 $9,000 將會更加容易。當你分析你的帳戶資料時，你將理解到，第一位數 1 比 8 或 9 更常出現，正如同 Benford's law 的支配。這是一種非常基本的乘數過程例子，在此 0.01 為乘法的常數（multiplicative constant）。"
"物理學家已證明，自然中有許多過程能被塑模（modeled）成隨機的（stochastic）乘數過程，在這裡，先前所提的 0.01 常數值，現在變成一種隨機變數，而那些相當於我們在後例所提到的「錢」的資料，則是另一種隨機變數，具有一種基本的（underlying）1/x 分布。具有這種分布的隨機過程（stochastic processes）經證明遵循 BL。現在，許多其他現象因一種更一般性的、基本的 x^(-alpha) 機率，而與隨機過程更加相符，在這裡 alpha 不等於 1。與這種廣義乘冪律分布相關的第一位數分布，即所謂的 Generalized Benford law（若 alpha = 1 則收斂到 BL）。
很顯然地， Luque 與 Lacasa 在他們的研究中證明了 GBL 能以質數定理來解釋；尤其是這些序列的平均區域密度（mean local density）模型（shape）為此模式的成因。研究者們亦開發出一種數學框架，那為任何分布提供條件以符合 GBL。這些條件建立在先前的研究之上，那已證明若某一分布之參數的特定值遵循 BL，則 Benford 行為可能會發生，一如質數的例子。Luque 與 Lacasa 也研究 nontrivial Riemann zeta zeros 的序列，那與質數的分布相關，而且其 zeros 的分布被視為最重要的未解決數學問題之一。雖然 zeros 的分布並沒有遵循 BL，不過研究者在此發現，它確實遵循一種與大小相依的 GBL，一如質數的例子。
研究者們指出這項研究可能有幾種應用，諸如確認其他非 Benford 分布，但也許是 GBL 的序列。此外，許多已為 Benford's law 發展的應用最終也能被一般化，成為 Generalized Benford's law 更寬廣的脈絡。這樣的一種應用之一是詐騙偵測：一般來說，自然產生的資料遵循 Benford's law，隨意瞎猜的（騙人的）資料則否。
"BL 是 GBL 的「特例」，" Lacasa 解釋。"自然中許多過程在 alpha = 1 時能與 GBL 相符，例如 BL。當數字經過人為修改後，Benford's law 量化時的隱匿結構就會喪失：這是會計中詐騙偵測的一種原理，在此，與會計集合相關的組合機制（combinatorial mechanisms）為 BL 的應用之處。那些以某種一般 alpha 遵循 GBL 的過程，保持相同原理，在此 BL 失效。最後，對那些基本密度並非 x^(-alpha) 而是 1/logN 的過程而言，一種與大小相依的 GBL 將會是正確的正字標記。"
※ 相關報導：
＊ The first-digit frequencies of prime numbers and Riemann zeta zeros
http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/early/2009/04/17/rspa.2009.0126
Bartolo Luque and Lucas Lacasa＊ 《銀河便車指南》中 42 所代表的意義？
Proceedings of the Royal Society A, accepted March 23, 2009.
doi: 10.1098/rspa.2009.0126.
＊ 量子尺度下的時空可能有碎形特性
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