Only Perception: 量子尺度下的時空可能有碎形特性

2009-03-27

量子尺度下的時空可能有碎形特性

Spacetime May Have Fractal Properties on a Quantum Scale
http://www.physorg.com/news157203574.html

By Lisa Zyga, March 25th, 2009

(PhysOrg.com) -- 通常，我們認為時空（spacetime）是四維的，有三維的空間與一維的時間。然而，這種歐幾里德（Euclidean）的觀點只是多維度時空版本的眾多可能之一。例如，弦論（string theory）預測了額外維度的存在 -- 6 維、7 維甚至是 20 維或以上。如同物理學家常解釋的，不可能看見這些額外的維度；它們的存在主要是為了滿足數學等式。

好像額外的維度還不夠奇怪似的，新研究已探索到一種使人更難以理解的可能性：時空的維度會依照尺度（scale）而改變，而且維度在小尺度上可能具有碎形（fractal）的特性。在一項最近的研究中，Dario Benedetti，（加拿大）Ontario省 Waterloo 市 Perimeter Institute for Theoretical Physics（PI 理論物理學研究所）的物理學家，以「在短尺度上脫離古典值的、尺度依存的（scale-dependent）維度」研究了二種可能的時空例子。不僅止於一種有趣的點子，這種現象也許為相對論的量子理論（quantum theory of relativity）提供了洞見，那也已被指出具有尺度依存的維度。
Benedetti 的研究發表在最近一期的 Physical Review Letters 中。

"在量子重力（quantum gravity）中那是種老想法：短尺度時空也許看起來像泡沫、碎形或類似的東西，" Benedetti 表示。"在我的研究中，我提出為了描述這種量子時空，量子群（quantum groups）是一種夠格的候選者。此外，在計算這種幽靈維度（spectral dimension）的過程中，我首度在量子群／非交換幾何（noncommutative geometries，亦稱 quantum geometries）以及與量子重力顯然無關的嘗試間，例如因果動態三角化（Causal Dynamical Triangulations，CDT）與精確重整化群（Exact Renormalization Group，ERG），提供了某種關聯。而在不同的主題之間建立連結，通常是我們能夠理解這些主題的最佳方式之一。"

在他的研究中，Benedetti 解釋，一個具有量子群對稱性的時空一般有一個尺度依存的維度。不同於古典群，那作用在交換空間，量子群是作用在非交換空見（例如：xy 不同於 yx），那透過它們獨特的曲率（curvature）以及量子不確定性浮現出來。在此， Benedetti 考慮二類具有量子群對稱性的時空 -- 量子球體（quantum sphere）與 k-Minkowski 時空 -- 並計算它們的維度。在這二種空間中，維度在小尺度下具有碎形的特性，並只有在大尺度下才達到古典值。

"簡單的說，量子群與非交換幾何之間的關係如下，" 他解釋。"古典上，我們知道某些空間在某些古典群的作用下是不變的；例如，歐幾里德空間在旋轉與變換（translations）下不變。量子群是一給定古典群的某種變形（deformation）。不變空間（invariant space）也必須是一古典空間的變形，此一變形使得它不具交換性。這全都已知與碎形無關，但是在我的研究中，我發現它們確實有一種共通的特性，即某種非整數維度（在某些尺度下）。"

相較於歐幾里德球體，一個量子球體的曲率與量子不確定性使得它成為一種非交換空間。當計算量子球體的幽靈維度時，Benedetti 發現它十分類似一個在大尺度下的標準球體；然而，當尺度減小時，量子球體的維度偏離並降到零。他將這種現象描述成量子球體的某種模糊（fuzziness）（或不確定）特徵，而且與小尺度下產生的碎形行為（fractal behavior）一樣。

在第二種空間（k-Minkowski 時空）中，維度也自古典 Minkowski 時空的恆常行為（constant behavior）背離。雖然後者總共有四維、尺度的獨立性，不過在量子版本中卻減少到三維，並成為尺度的一種函數。在 k-Minkowski 時空與量子球體中，維度變成非整數的，那是碎形幾何的一種典型特徵。

Benedetti 的結果與量子重力的先前途徑相符，那也指出一種具有碎形特性的基底尺度（ground-scale）浮現。總的來說，這些研究也許幫助科學家了解時空的獨特普朗克尺度特性，也許結合了某種重力的量子理論（譯註：量子論的一個未解問題是，無法將重力場量子化，如果可行，那麼愛因斯坦企求的統一場論 (unified field theory，注意與萬有理論，Theory of everything，有點不同)，才算成真）。例如，如同 Benedetti 的解釋，量子時空的碎形本質也許讓重力藉由維度縮減（dimensional reduction）糾正它自己的「太超過行為（ultraviolet behavior）」。

"重力的主要問題是，它顯然無法同其他場論那樣被量子化；以行話來說，那是指不可重整化（non-renormalizable），" 他說。"這個問題為四維時空所特有。如果時空僅有二維，量子重力將更加簡單與能處理。不過二維理論的問題是，當我們在我們的尺度下看待四維時空時，它是非物理的。這些事能藉由在不同尺度下結合四維與二維而獲得解決。亦即，若重力本身提供了某種機制，時空的維度藉此依存在我們探索它的尺度下（在我們的或較大的尺度下是四維，在非常短的尺度下是二維），那麼我們就能擁有一種沒有量子（短尺度）麻煩的重力理論（能與觀察共存）。"

※ 相關報導：

＊ Fractal Properties of Quantum Spacetime
http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.102.111303