代數簇的陳氏數

Chern numbers of algebraic varieties
http://www.physorg.com/news163858041.html

June 10th, 2009

一種在拓撲學（topology）與代數幾何學（algebraic geometry）這二種數學領域交界處的問題（那已由 Friedrich Hirzebruch 公式化），已讓人用盡各種方式試圖尋求解達超過 50 年了。此問題涉及不同數學結構之間的關係。Dieter Kotschick 教授，（德國）慕尼黑，Ludwig-Maximilians- Universitat (LMU) 的數學家，現在達成了一項突破。如同 PNAS 線上版的報告，Kotschick 已經解開了 Hirzebruch 的問題。

拓撲學研究幾何物體的彈性（flexible，可撓曲性）特性，那不會因連續的變形而起變化。在代數幾何中，這些物體中的某一些，天生就具有額外的結構，那源自於一種由多項式方程式所建構的詳盡描述。Hirzebruch 的問題牽涉到幾何物體的彈性與堅固性（rigid，不可撓曲性）之間的關係。

以拓撲學來看，一顆球的所有表面總是一個球形（sphere），即使這顆球已經嚴重變形：精確的幾何形狀在拓撲學中不重要。這與代數幾何不同，在此，如球形那樣的物體由多項式方程式所描述。 Dieter Kotschick 教授最近在拓撲學與代數幾何學的交界處，達成了一項突破。

"我能夠解決一種問題，那已被具有影響力的德國數學家 Friedrich Hirzebruch 公式化超過 50 年，" Kotschick 說。"Hirzebruch 的問題涉及不同數學結構之間的關係。這些（數學結構）是所謂的代數簇（algebraic varieties），為多項式的零點集合（zero-sets），而且某些幾何物體被稱為流形（manifolds）。" 流行是平滑的拓撲學空間，那能在任意維度中被考慮。一顆球的球形表面只是一種二維的流形。

在數學術語中，Hirzebruch 的問題是確定哪些陳氏數（Chern numbers，譯註：陳氏指陳省身先生，美籍華裔微分幾何大師、多國院士）為複代數簇（complex-algebraic varieties）的拓撲學不變量。"我已證明 -- 除了顯著的某幾個（obvious ones）以外 -- 沒有陳氏數為拓撲學上的不變量，" Kotschick 表示。"因此，這些數實際上是取決於某種簇的代數結構，且並非由粗略（coarser），所謂的拓撲學特性，所決定。換言之：構成某一代數簇基礎的流形，並非由這些不變量決定。"

Hirzebruch 問題的解目前發表於本期的 PNAS Early Edition，即 PNAS 的線上版。

※ 相關報導：

＊ Characteristic numbers of algebraic varieties
D. Kotschick
http://www.pnas.org/content/early/2009/06/09/0903504106.abstract

PNAS, Published online before print June 9, 2009,
doi: 10.1073/pnas.0903504106

A rational linear combination of Chern numbers is an oriented diffeomorphism invariant of smooth complex projective varieties if and only if it is a linear combination of the Euler and Pontryagin numbers. In dimension at least 3, only multiples of the top Chern number, which is the Euler characteristic, are invariant under diffeomorphisms that are not necessarily orientation preserving. In the space of Chern numbers, there are 2 distinguished subspaces, one spanned by the Euler and Pontryagin numbers, and the other spanned by the Hirzebruch–Todd numbers. Their intersection is the span of the Euler number and the signature.

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