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May 21, 2008
人類在實用與裝飾二方面使用對稱性圖案已有數千年之久。現在，一本由三位數學家所完成的新書，提供數學專家與熱心人士一種新方法來理解對稱，以及一種新方式來看待世界。在 The Symmetries of Things 這本書中，著名的 Princeton 數學家 John H. Conway 與 Arkansas 大學的 Chaim Goodman-Strauss 以及 Bridgewater 州立大學的 Heidi Burgiel 合作，在一本滿是插圖的書中呈現出無所不包的對稱數學理論。這本書專為對數學有興趣的人、藝術家、職業數學家與研究者而設計。
"對稱與圖案在基本上同語言及韻律一樣，都是人類以相同方式關注的事物。任何文化所製造的任何東西都有裝飾，而且都被這種視覺韻律搶先佔據，" Goodman-Strauss 說。"新石器時代的樣本事實上就有許多這樣的圖案。例如，魚鱗圖案就有 22,000 年之久，而且都在全世界各類背景（contexts）中顯現出來。"
對稱的物體與圖案到處都有。在本質上，這裡有反覆形狀所組成的花朵，那繞著一個中心點旋轉。建築師以帶狀雕刻（friezes）修整建築，那一再重複設計好的元素。
數學家，根據 Goodman-Strauss 表示，是人類迷戀圖案的菜鳥。然而，數學家有他們自己特殊的盤算，"我們也能夠講出他人也許說不出來的東西。"
Symmetries of Things 貢獻一種新的標記系統，或對稱圖案的描述類型，以及許多新證明。
這本書的第一部份是為了讓對此主題有興趣的普通讀者能夠理解而寫。第二與第三部份則針對數學家與此領域的專家。這整本書，Goodman-Strauss 說，"意欲讓人著迷，同時在視覺上展現它自己。"
為了闡釋在數學上理解對稱的重要性，Goodman-Strauss 以一般方式談論數學開始：
"數學家在任何事物之上研究結構、結構本身的目的、精神上的結構，不盡然是物理性結構。這也是為何數學如此善於描述這個世界。你所能考慮的基本類型結構會比圖案在一個平面上所能夠被安排的方式來的多嗎？"
雖然數學也許被稱為「一種描述性藝術（a descriptive art）」，Goodman-Strauss 卻提到數學家不單單會試著要去描述。相反的，他說，"我們正試著要了解哪種天性能以一種定量的、分析的方式描述。"
數學家已用一種由結晶學家所發展、用來描述對稱的系統達近百年之久，這種系統無法輕易地概括其他狀況。根據 Goodman-Strauss 所表示，Conway 發展出一種標記系統，那是一個對數學家更有用、有彈性、直覺的系統，那「比一種命名系統還要多更多」。
"Conway 是世上最好的標記法製造者之一，" Goodman-Strauss 說。"一個好的標記法之所以令人吃驚，是因為它不只是種命名東西的方法。它是一種讓事物的結構透明的方式，且同時提供一種方法來枚舉它們、將它們分類，並證明這種分類是什麼 -- 全都一次搞定。那真是令人大大興奮的事。"
這本書的第二部份討論軌流形（orbifold，軌形，orbit-manifold），那是一種用來理解對稱的工具。如同研究者在書中的序言所寫，Goodman-Strauss "已獨自傳播軌流形特徵的福音，且因其華麗的圖解為大家所知。"
當對稱性圖案出現在一個被摺疊或捲過的表面上時軌流形形成，故每一種不同的特徵、在圖案上的每一點都會與其對應點集合在一起。其結果是種幾何形狀，例如一個球體、一個圓錐體或一個圓柱體，呈現出設計元素的某種例子，此元素會重複以製造出對稱性模式。
身為一種工具，軌流形模式提供了一種理解模式的有效方法。Goodman-Strauss 以古老且普遍的魚鱗圖案為例。
"為何魚鱗圖案會如此令人矚目與如此有趣，且成為各類型其他圖案的基礎？那很簡單 -- 因為它是一種非常簡單的軌道（orbital），" Goodman-Strauss 解釋。"為何魚鱗圖案會如此令人矚目與如此有趣，且成為各類型其他圖案的基礎？那很簡單 -- 因為它是一種非常簡單的軌道（orbital），" Goodman-Strauss 解釋。"你想要在一個軌流形上得到一種簡單的圖案。當你這麼做，圖案會強烈且有活力（dynamic）。"
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1 則留言:
全球最難數獨 答案獨一無二
自由時報 2010.08.25
〔編譯林翠儀／綜合報導〕芬蘭一位數學家花了3個月時間，設計出號稱是「全世界最難的數獨」，一般有些數獨題目看似很難，但有時解出的答案卻不只一個，通常會讓玩家感到失望。這份最難的數獨，強調答案只有一個，而且摒除「瞎猜」的答法，靠邏輯可以推敲出每一格的數字，玩起來非常夠味。
芬蘭雙學位博士設計
這份數獨是由澳洲營養補充品公司Efamol，委託芬蘭的學者奧圖依卡拉（Arto Inkala）設計，依卡拉擁有科學與應用數學的兩項博士頭銜。由於嗆聲說是全世界最難的數獨，最近在日本網路上引起網友熱烈討論，大家一窩蜂加入解題的行列。日本雖然不是數獨的發源地，卻是將數獨發揚光大的國家，日文發音的「sudoku」因此成為這項風靡全世界億萬人遊戲的名稱。
這份9 乘9格的數獨題目，已填好的部分有23格。依卡拉博士說，這個數獨題目是他花了3個月的時間設計而成，或許有人靠瞎猜就能馬上找到解答，或是歪打正著先猜中3、4個，再花個15到30分鐘完成全部解答。依卡拉說，如果靠直覺瞎猜，或許會覺得一點都不困難，但如果不循此途，而是認真地以邏輯推敲作答，恐怕得花上好幾天時間，就像在玩西洋棋或日本象棋一樣，非常有意思。
依卡拉本身雖然是數學高手，但他說喜歡玩解謎遊戲的人，不見得要會加減乘除，只是需要邏輯能力、專注力，最後一項就是耐心，這才是當數獨高手的關鍵。
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